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课堂教学本没有一定之规，无奈的是管理部门总想用各种指标将之量化考核，需知对于不同的课程、不同的老师，其教学方法与风格可能是完全不同的。举例来说，你听了一节英语课，需要你对讲授者的课堂做评价，其中一项指标为：“创新能力培养”（分值10），你如何填写？我觉得学好外语的唯一途径就是熟能生巧，外语教学是语言技能的培养，与创新能力有半毛钱关系？不仅不能创新，还得善于模仿。不过这不在本文的讨论范围内，关于课堂教学的几种模式将另文探究。
这些年无论是教师求职还是博士生求职都多了个面试环节，这是个进步。虽然教学水平可以通过实践不断提高，事实上，从面试过程可以看出来，当过教师的人比没当过教师的人讲起课来多了一份从容与镇定，但一般说来，一个人在经过了几年的教学实践后，其风格基本定型了，教学会处于相对稳定的状态。博士生的可塑性比较强，如果有一定的天赋，又是个有心人，稍加历练，让自己的课堂教学进入自由王国的境界不是件难事，原因在于博士生具有雄厚的专业基础，这是能把课教好的根本保证。当然，这里有个前提，你是个名符其实的博士，从教学过程可以在一定程度上看出一个人的专业素养。
定积分概念是微积分的难点之一，要讲好它并不容易，因为它蕴含了微积分思想的精髓。有意思的是，还是有一些学生愿意挑战难点的，曾经有几个博士生选择定积分作为试讲内容。给我印象最深的博士生求职试讲是下面这段关于定积分概念的讲授（凭记忆写就，细节性的东西未必准确，但大框架如此）。
“今天我们介绍微积分的另一个概念‘定积分’，定积分起源于面积问题，面积问题自古就有，早在欧几里得时代就有关于三角形、四边形以及圆的面积计算，在这些常见的图形中，圆的面积计算最为复杂，原因在于圆的边界是弯曲的。现在让我们回顾一下在中学是如何计算圆的面积的。”
试讲者画了个圆及内接正多边形，然后说道：“我们通常是以内接正多边形的面积替代圆的面积，从图形可以看出，随着内接正多边形的边数增加，多边形的面积越来越接近圆的面积。为了得到圆的面积，可以让边数不断增加，也就是令边数n趋于无穷大，其极限就是圆的面积。这种方法的本质是什么？当边数很多时，每个小三角形对应的那段弧很接近直线段，于是我们可以近似地以玄代替弧，即以三角形代替扇形，换句话说，局部地以直代曲。这种思想可不可以应用到更一般图形的面积呢？我们先来看一个比较简单的图形，这类图形通常称为曲边梯形。”
接着，试讲者在画了个曲边梯形后说道：“这个图形中有三个边是直的，有一个边是弯的，复杂之处就在于这个弯曲的边，为讨论方便，暂且假定这个边是由一个连续函数确定的。现在的问题是如何求这个图形的面积？我们知道，连续函数在每个连续点的附近函数值变化不大，可以近似地看成一个常数。从图像上看，我们把曲线做分割，只要分割得够细，那么可以将这个小的曲线段近似看着直线段。”试讲者对图形做了一次剖分，并指出对曲线剖分相当于对函数的定义域做剖分，然后“拿出”其中一个小的曲边梯形放大进行分析：“如果区间的长度非常小，那么在这个小区间上，函数值的变化幅度不大，也就是说，可以在这个小区间上把函数近似看成常函数，于是得到一个小矩形，我们就以这个小矩形的面积替代小曲边梯形的面积从而得到一个近似值。”
试讲者说明了如何选择小矩形的高，并将之表示了出来，写出了小矩形的面积。接下来，自然就是把各个小矩形的面积累加起来从而得到曲边梯形面积的近似值，试讲者将此过程称之为求近似和，虽然与标准说法有所差异，但意思相同（标准名称叫分割求和）。“随着剖分的越来越细，直观地看，近似和的面积与曲边梯形的面积越来越接近，为了求曲边梯形面积的精确值，自然是让分割越来越细，也就是说，令分割后每个小区间的长度越来越小。可以记这些小区间长度的最大值为λ，则当λ→0时，有理由相信近似和的极限就是曲边梯形的面积。”
面积问题介绍完后，试讲者话锋一转：“这种处理方法适用于很多问题，例如物理中物体变速运动的路程问题、密度非均匀分布的平板质量问题、压强不均匀的流体压力问题等等都可以用类似的思想方法处理，我们把这种类似的处理方法提炼出来便可以得到定积分的概念。”试讲者随即写下了定积分的定义，讲完定积分完整的概念用了接近20分钟的时间，虽然由于紧张使得表述略显青涩，由于没有学生只能自问自答，但整个的概念讲解一气呵成。作为尚未正式走向讲台的年轻博士，你觉得这样的试讲水平如何？ |
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